Laboratorul “Algebră şi topologie”

Laboratorul “Algebră şi topologie” a fost fondat în 2009, în urma fuzionării laboratoarelor “Algebră şi logică matematică” şi “Topologie şi geometrie”, şi reuneşte cercetători ale trei şcoli matematice: şcoala de algebră, creată de academicianul V.A. Andrunachievici, şcoala de teorie a cuasigrupurilor şi analiză combinatorie, creată de profesorul V.D. Belousov şi şcoala de logică matematică, creată de doctorul A.V. Cuzneţov. În prezent în cadrul laboratorului activează în total 16 colaboratori, dintre care 2 academicieni, inclusiv 6 doctori habilitaţi, 8 doctori. Șef de laborator – dr. Vladimir Izbaş.

Cercetare

Laboratorul efectuează cercetări în cinci direcţii: algebră (inele, module, categorii, teoria radicalilor); cusigrupuri şi analiză combinatorie (teoria generală a cuasigrupurilor şi operaţiilor algebrice, probleme de combinatorie în cuasigrupuri şi aplicaţii la codificarea şi cifrarea informaţiei); logică matematică (probleme algoritmice ale expresibilităţii funcţionale precum şi ale generalizărilor ei în logici neclasice); algebra topologică; geometria grupurilor discrete.

Structurile algebrice fundamentale sunt categoriile, inelele, modulele, spaţiile vectoriale, cuasigrupurile, algebrele Boole, grupurile discrete, grupurile şi spaţiile cu diferite topologii, ş. a. Aceste structuri au fost fructuos studiate de înaintaşii laboratorului (V.A. Andrunachievici, V.D. Belousov, A.V. Cuzneţov, V.I. Arnautov, Iu.M. Reabukhin, M.F. Raţă, A.I. Caşu, V.S. Macarov, G.B. Beleavscaia). Au fost obţinute rezultate esenţiale, materializate în monografii, care sunt “rezerva de aur” a laboratorului “Algebră şi topologie”.

1. V.A. Andrunachievici, Iu. Reabuhin. Radicalii algebrelor şi teoria structurală, Moscova, Nauka, 1979 (în limba rusă).
2. V. Arnautov, S. Glavaţky, A. Mikhalev. Introducere în teoria inelelor şi modulelor topologice, Marcel Dekker, Inc., New York - Basel - Hong Kong, 1996 (în limba engleză).
3. V. Belousov. Bazele teoriei cuasigrupurilor şi a buclelor, Moscova, Nauka, 1967 (în limba rusă).
4. V. Belousov. Reţele algebrice şi cuasigrupuri, Chişinău, Ştiinţa, 1971 (în limba rusă).
5. G. Beliavscaia. Pătrate latine r-ortogonale. Capitolul 6 în culegerea “Pătrate latine: Noi Realizări în Teorie şi Aplicaţii”. Annals of Discrete Mathematics, V.46, 1991, North-Holland-Amsterdam-New-York – Oxford-Tokyo, p.169-202 (în limba engl.).
6. A. Caşu. Radicali şi torsiuni în module, Chişinău, Ştiinţa, 1983 (în limba rusă).
7. M. Raţă. Expresibilitate în calcule logice, Chişinău, Ştiinţa, 1991 (în limba rusă).

Algebre, inele, module, categori: Tematica cercetărilor curente: teoria structurală a algebrelor local finit dimensionale, probleme de tip Burnside în inele şi algebre, teoria radicalilor şi torsiunilor în categorii de module. Au fost construite inele radicale comutative libere, care au fost folosite pentru descrierea tuturor inelelor radica-le monogenice. (Iu. Reabuhin). A fost obţinută descrierea completă a laticei claselor naturale de module ca partea booleană a laticei claselor închise de module, au fost evidenţiaţi preradicalii categoriei modulelor determinaţi de functorii principali, arătînd relaţiile dintre ei şi criteriile de coincidenţă. Au fost cercetaţi preradicali de tip special în categorii de module (preradicalii standard) şi cu ajutorul lor au fost definite patru operaţii noi în laticea tuturor submodulelor oricărui modul. Au fost arătate proprietăţile principale ale acestor operaţii, precum şi anumite relaţii dintre ele şi operaţiile laticeale ale laticei submodulelor. Au fost definite şi cercetate operaţiile inverse arătând relaţiile lor cu suma şi intersecţia submodulelor. (A.Caşu).

Cuasigrupuri şi analiză combinatorie: A fost îmbogăţită substanţial teoria generală a quasigrupurilor, în particular, aspectele ei ce ţin de caracterizarea automorfismelor, nucleelor, congruenţelor cât şi aspectele combinatorice de ortogonalitate şi linearitatea ale quasigrupurilor. Au fost clasificate după tip operaţiile, definite pe o mulţime arbitrară, s-a calculat numărul de clase de echinalenţă ale tipurilor, au fost arătate condiţii suficiente de izomorfism a operaţiilor de acelaşi tip sau de tipuri similare, s-a găsit structura grupurilor operaţiilor inversabile la dreapta. In cazul finit a fost rezolvată problema lui V.D. Belousov despre LP-izotopii F-cuasigrupurilor de stînga. A fost descrisă structura cuasigrupurilor finite simple paramediale. Au fost demonstrate teoreme de izomorfism ale operaţiilor de transversală. A fost generalizată teorema lui Gluskin-Hossu pentru o clasă de grupirilor n-are. Au fost construiţi criptoalgoritmi noi la baza cărora sunt utilizate două probleme dificile din teoria cuasigrupurilor. Au fost descrise: spectrul quasigrupurilor total parastrof-ortogonale, sistemele de codare cu un simbol de control bazate pe quasigrupurile total parastrof-ortogonale, schemele de partajare a secretului bazate pe sistemele ortogonale de operaţii partiale, sistemele de operaţii n-are ce corespund schemelor de partajare a secretului. (V. Izbash, G.Be-liavscaia, E. Kuznetsov, V. Şcerbacov, S. Botnari).

Logică matematică: Direcţia principală de investigaţie o constituie abordarea problemelor de expresibilitate pentru calculele logice. A fost soluţionată problema completitudinii functionale pentru logica propozitională intuiţionistă. În logica modală S4 a fost demonstrată absenţa aproximării finite în raport cu completitudinea funcţională. A fost demonstrat că problema expresibilităţii pentru logica demonstraţională Godel-Lob şi pentru logica modală S4 sunt algoritmic indecidabile. Au fost stabilite condiţiile necesare şi suficiente de completitudine (funcţională) a sistemelor de formule în extensiile lanţiale ale  logicii dual intuiţioniste. În logica demonstraţional-intuiţionistă a fost construită o mulţime numărabilă de clase modelar precomplete. S-a demonstrat că logica demonstra-

ţional-intuiţionistă nu este finit-aproximabilă relativ la completitudinea modelară. (M. Raţă, V. Cebotari, O. Izbaş).

Algebră topologică: A fost construită teoria generală a radicalilor în inele topologice. Au fost studiate proprietăţile lanţurilor necondensabile de topologii de grup şi de inel în grupuri şi respectiv în inele nilpotente. A fost obţinute estimările numărului de (anumite) topologii pe mulţimi finite. A fost demonstrată existenţa  unui continuum de topologii metrizabile într-un grup numărabil care admite topologii metrizabile. (V. Arnautov). O altă direcţie de cercetare în domeniul algerbrei topologice, promovată în laboratorul Algebră şi Topologie, o constitue studiul interconexiunilor dintre proprietăţile algebrico-topologice ale grupurilor abeliene local compacte şi cele ale inelelor de endomorfisme continui ale lor, echipate cu topologia compact-deschisă. Pentru diferite clase de grupuri abeliene local compacte, au fost obţinute descrieri complete a grupurilor din aceste clase cu proprietatea că inelele de endomorfisme continui corespunzătoare sunt, respectiv, topologic simple, topologic artiniene, Baer, Zorn, compacte, comutative, constau din elemente topologic idempotente, nu conţin elemente nilpotente nenule. (V. Popa, S. Cruglea).

Geometria grupurilor discrete: Utilizând metodele geometriei sintetice au fost soluţionate probleme de completare a 3-varietăţilor hiperbolice incomplete orientate şi neorientate. Au fost construite exemple de varietăţi hiperbolice de dimensiune 3, 4 şi 5, investigată geometria lor şi examinată posibilitatea de reconstrucţie metrică a acestor varietăţi. Au fost obţinute clase particulare de descompuneri k-izoedrice ale spaţiilor bidimensionale de curbură constantă. (I. Guţul, F. Damian, E. Zamorzaeva).

Publicaţii

Toate rezultatele menţionate au fost publicate în reviste naţionale şi internaţionale de specialitate. Pe parcursul anilor 2000-2012 colaboratorii LAT au publicat peste 500 de lucrări. În baza lor au fost scrise 3 monografii:

1. M. Raţiu. Algebre iterative lanţiale de funcţii pseudo-booleene trivalente. Iaşi: Editura Alexandru Myller, 2010, 276 p.
2. M. Raţă. Inexistenţa algoritmilor de recunoaştere a expresibilităţii sintactice în calcule logice, Piteşti, România, The Flower Power, 2004.
3. G. Beliavscaia. Cuasigrupuri: identităţi cu substituţii, liniaritate şi nucleie: LAP Lambert Academic Publishing Verlag, Deutschland, 2013, 72 p. (în limba rusă).

Colaboratorii ai colectivului de cercetare Algebră şi Logică Matematică au fondat în anul 1994 revista “Quasigroups and Related Systems” (QRS), care continuă, parţial, seria “Mаtеmаticeskie issledovania”, editată în Institutul de Matematică şi Informatică al AŞ a RM până în anul 1992. În prezent revista este publicată in Polonia, este finanţată de sponsori de peste hotare, este solicitată de specialişti in domeniile alge un nivel stiinţific avansat şi a devenit o revistă ştiinţifică prestigioasă, cotată SCOPUS. În Volumele 10 (2003), 15 (2007) ale revistei au fost publicate toate articolele de sinteză ale Conferinţei Internaţionale LOOP´S-03, Praga, 10-17 august, 2003, LOOP´S-07, Praga, 17-21 august, 2007, LOOP´S-11, Castle hotel Trest, Czech Republic, 25-27 july, 2011, respectiv.  În prezent QRS asigură pentru Institutul de Matematică şi Informatică schimbul de literatură ştiinţifică cu 8 reviste matematice din Polonia, Italia, Serbia şi Montenegro şi alte ţări.

Conferințe organizate

1. Seminarul anual de algebră dedicat profesorului V. D. Belousov - fondatorului şcolii de teorie a quasigrupurilor (9 ediţii 2005-2013; 25-30 participanţi; 18-22 februarie, Institutul de Matematică şi Informatică al A.Ş.M.).
2. Conferinţa memorială “ Kuzneţov - 80” (2006; 30 participanţi; Octombrie 20, Institutul de Matematică şi Informatică al A.Ş.M., Chişinău).

Cercetătorii laboratorului permanent ţin cursuri speciale la Universitatea Academiei de Ştiinţe a Moldovei, Universitatea de Stat din Moldova, Universitatea de Stat din Tiraspol (cu sediul în Chişinău), Universitatea Transnistreană. Deasemenea sunt antrenaţi în pregătirea lotului olimpic la matematică a elevilor. Ca rezultat al acestei activităţi au fost publicate unele manuale şi culegeri.

1. Аrnautov, G. Еrmakova. Întroducere în teoria grupurilor topologice. Chişinău. Univ. de Stat din Tiraspol. 2013, 215 p. (în limba rusă).
2. Аrnautov, N. Маliutina. Topologie generală. Textbooks and Monographs, Moldova State University, Center for Education & Research in Mathematics and Computer Science, 2010, 108 p. (în limba rusă).
3. Arnautov, G. Еrmakova, Numere cardinale şi transfinite. Seria Culegeri şi monografii, Vol. 9, Universitatea de Stat din Moldova Centrul de educaţie şi Cercetare în Matematică şi Informatică, 2010, 76 p. (în limba rusă).
4. Caşu, Introducere în teoria modulelor, Centrul Editorial al USM, Chişinău, 2003.
5. Caşu, I. Goian, P. Sârbu, Sisteme numerice, Seria Culegeri şi monografii, Vol. 4, Universitatea de Stat din Moldova Centrul de educaţie şi Cercetare în Matematică şi Informatică, 2008, 165 p.
6. Baltag, V. Izbaş, Olimpiade matematice - 2002. Ministerul educaţiei Al Republicii Moldova, Consiliul olimpic de matema- tică, Institutul de Matematică şi Informatică al AŞM, Chişinău, 2003, 98 p.

Alte publicţii de referinţă

1. Beliavscaia, G.B., Izbaş, V., Mullen, G. Sisteme de verificare a simbolurilor pe bază de cuasigrupuri, I, II. Amsterdam, Springer, Designs, Codes and Cryptography, 37, 2005, 215-227; vol.37, 2005, p. 405-419.
2. Beliavscaia, G.B., Izbaş, V., Mullen, G. Sisteme de verificare a simbolurilor pe bază de cuasigrupuri şi bucle, Quasigroups and Related Systems 10(2003), 1-28.w
3. Şcerbacov, Despre structura F-, SM-, şi E-cuasigrupurilor de stînga, de dreapta. În: Journal of Generalized Lie Theory and Applications, 2009, vol. 3, No. 3, p. 197-259.
4. Caşu, A. I. Despre operaţii inverse în laticea submodulelor. Algebra Discrete Math. 13 (2012), no. 2, 273-288.
5. Cuzneţov, E. Transversală de buclă în o buclă de permutări exact 2-tranzitivă. Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 3(49), 2005, p. 101-114.
6. Popa, V. Despre LCA-grupuri fără torsiuni cu grupurile de en-domorfisme continui comutative, Buletinul Academiei de Şti-inţe a Republicii Moldova, Matematica, 2007, 2(54), p. 81-100.
7. Guţul, I. Unele varietăţi hiperbolice, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2004, 3(46), p. 63-71.
8. Izbaş, O. Inexistenţa aproximării finite relativ la completitunea modeleră în logica demonstraţional-intuiţionistă. In: The 35th Annual Congress, American Ramanian Academy of Arts and Sciences (ARA), July 6th-11rd, Timişoara, Ramania, 2010, Proceedings. Sci. Ed.: Ionel, I.; Fleşer, T.; Vetreş, I. – Presses Internationales Polytechnique, Montréal, Québec, 2011, p. 298-300.
9. Zamorzaeva, E. Descompuneri 2-izoedrice nefundamentale ale sferei, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2008, 2(57), p.35-46.